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\title{\heiti\zihao{2} 习题1.3}
\author{中书君}
\date{\songti 2021年1月13日}
\begin{document}
\maketitle
\section{证明下列实数集之间势等价:}
\subsection{任意两个有限开区间}
\textbf{证}\quad
设两开区间为$(a,b)$与$(c,d)$.可以构造映射:$f(x)=\frac{d-c}{b-a}x-a+c$.
其将$(a,b)$映射到$(c,d)$,且为一一映射,所以$(a,b)$和$(c,d)$势等价.

\subsection{区间$(0,1)$和$(-\infty,+\infty)$}
\textbf{证}\quad
$\tan x$将$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$一一映射到$(-\infty,+\infty)$,
又因为1.1,所以$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$和$(0,1)$和$(-\infty,+\infty)$势等价.

\subsection{任意两个有限闭区间}
\textbf{证}\quad
由1.1的方法可立得.

\subsection{任意开区间与任意闭区间}
\textbf{证}\quad
只需考虑有限区间.对于$(a,b),[c,d]$,显然可由1.1的方法将$(a,b)$单射到$[c,d]$中,又可由$[c,d]$
映射到$(\frac{3a+b}{4},\frac{a+3b}{4})$中,从而二者势等价.

\subsection{区间$[0,1]$和区间$(-\infty,+\infty)$}
\textbf{证}\quad
由1.4立得
\textbf{注}\quad
对于无穷区间的开闭区间的分类在不同书籍中不同,这里并不推荐认为其为广义闭区间,否则可能会对极限的
概念的理解产生一定误导作用.

\section{有理系数多项式方程 $a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n}=0$ 的根称为代数数,证明所有代数数的全体构成的集合是可数集.}
\textbf{证}\quad
由于可数的可数集仍为可数集,由代数基本定理,$n$次多项式方程最多有$n$个不同的实根,从而对于每个多项式方程的根可数.
而由于每个系数都是有理数,所以可依次由$a_{0}\cdots a_{n}$的分母的大小顺序将多项式排成一列.从而$n$次多项式可列.
又因为关于$\mathrm{deg} P(x)$可列,从而所有多项式的根可列.

\section{伯恩斯坦定理:若$B\rightarrow A,A \rightarrow B$都存在单射,则$A,B$间存在一一映射.}
\subsection{引理:若$B$是$A$的子集，且存在单射$A\rightarrow B$,则存在$A\rightarrow B$的一一映射.}
\textbf{证}\quad
设$Y = A/B$,记单设$f:A\rightarrow B$.记$X=Y \cup f(Y) \cup f^{(2)}(Y) \cup \cdots$

(1)可得出结论:对$f^{(a)}(Y)$于$f^{(b)}(Y)$,若$a\neq b$,则$f^{(a)}(Y)\neq f^{(b)}(Y)$.

\textbf{证}\quad
$f(Y) \subset A-Y$,同理$f^{(n)}(Y)\subset A-Y $,$f^{(a)}(Y)\neq f^{(b)}(Y)$因为是单射,所以只要$f^{(a-1)}(Y)\neq f^{(b-1)}(Y)$,
以此类推,即$Y\neq f^{(b-a)}(Y)$.又因为$Y$不属于$B$,而$f^{(b-a)}(Y)$属于$B$,所以二者不等.

(2)$f(X)=f(Y) \cup f^{(2)}(Y)\cup \cdots$,从而$f(X) \cup Y = X$.又因为$A=B \cup Y$,故$A-X=(B\cup Y)-(f(X)\cup Y)=B-f(X)$.
将$f:A\rightarrow B$分解为$X \rightarrow f(x)$,$A-X \rightarrow B-f(X)$(即$A-Y-f(x) \rightarrow B - f(x)$)

由于$X \rightarrow f(X)$一一对应,$A-Y-f(X)=B-f(X) \rightarrow B-f(x)$一一对应,故$A$与$B$一一对应.

\subsection{证明问题:}
\textbf{证}\quad
$\exists $单射$f:A\rightarrow B$,$g:B\rightarrow A$,其中$g(B)$是$A$的子集$B'$.由上引理,$A$与$B'$一一对应.$\because B'$与$B$一一对应,
$B'$与$g(B)$一一对应,故$A$与$B$一一对应.

证毕.

\end{document}